Тема, касающаяся распространения некоторых абстрактных новшеств в некоторой абстрактной среде может в своих частных проявлениях выглядеть совершенно по-разному.
Научно-технический центр Технопрестиж XXI век






Лугин В.Г.

Исследование распространения новшеств с использованием стохастической фрактальной клеточной модели

Тема, касающаяся распространения некоторых абстрактных новшеств в некоторой абстрактной среде может в своих частных проявлениях выглядеть совершенно по-разному. Она может описывать как мирные, так и весьма агрессивные процессы, имеющие плавное течение во времени и распространение в пространстве или имеющие принципиально взрывной временной участок. Такой взрывной временной участок зачастую имеет экспоненциальный рост во времени, причем его распространение в пространстве не напоминает разливающуюся воду. Скорее пространственное развитие напоминает сложный фейерверк, раскинувший поначалу свои ветви далеко от начальной точки, затем из этих новых узлов прокидывающий более слабые и короткие, но более многочисленные ветви. В итоге такой фейерверк рассыпается снопом разноцветных искр, охватывающих неожиданно большую область пространства, причем такой процесс имеет во времени участок условно линейного развития.

Примеры, конкретного воплощения изучаемой темы можно перечислять долго. Это и развитие эпидемии (когда пытающийся внедриться новый вирус или микроорганизм имеет такую возможность при наличии уже зараженных ближайших соседей и одновременно сниженного порога иммунитета у «реципиента»). Это и развитие драки между группами, например, футбольных болельщиков (в этом случае интересно пространственное развитие процесса, влияние естественных и искусственных элементов торможения активности). Это и находящееся в состоянии атаки или обороны подразделение, где распространяющимся «новшеством» является просто более-менее успешно передаваемая для исполнения команда, которая может быть принята незамедлительно или остаться не выполненной в связи с рядом технических причин.

Другими словами тема исследования касается различных аспектов как «холодной войны», так и активной агрессии и затрагивает, в общем, вопросы теоретические, методологические и вопросы конкретных инструментальных средств и их свойств. Одним из интересных и практически важных аспектов исследования могла бы быть проверка его теоретических, методологических и инструментальных средств во время проведения, например, какой-либо выборной кампании, когда «реципиент» так или иначе, но все же принимает одно из доступных ему «новшеств».

Ниже рассматриваются варианты основных формул и систем уравнений, позволяющих описать распространение новшеств в некоторой абстрактной среде. При этом будем иметь в виду, что переход от пространства параметров более высокой (целочисленной) размерности к пространству более низкой размерности может быть в соответствии с развитым Лагранжем подходом произведен путем учета «связей». При этом связи представляют собой уравнения, уменьшающие число степеней свободы (в точности на число таких уравнений). Например, маятник подвешен на нерастяжимой нити и колеблется (в трехмерном пространстве). Тогда нить может рассматриваться как связь, а движение маятника как движение в двумерном пространстве (по поверхности сферы). Если же жесткую связь, т.е. уравнение, правая часть которого приравнивается нулю, заменить выражением, величина которого должна быть минимизирована (целевая функция), то тогда возможен «плавный» переход от пространства большей размерности к пространству меньшей размерности. При этом мы не выходим из рамок классических представлений, т.е. не обращаемся к методам теории фракталов. Рассмотрим вначале распространение новшеств с такой, классической точки зрения, считая пространство непрерывным.

Для удобства изложения основные формулы и выражения будем приводить на примере пространства размерности 2, подразумевая при этом, что размерность может быть и другой, и отмечая отличия в случае необходимости.
(1) – функция «плотности распределения» новшества типа в момент времени в точке пространства (,), используемая в модели [1], описывающей распространение новшества как конкурентоспособную замену одного метода удовлетворения потребности другим.

(2) - известное уравнение [2], определяющее экспоненциальный на начальном этапе рост величины и замедление такого роста по мере приближения к величине , дающей предел насыщения и считающейся неизменной на рассматриваемом временном масштабе.

(3) - решение уравнения (2), в котором константа определяется начальной величиной «посева» новшества в нулевой момент времени и ее соотношением к величине .

При этом в уравнении (2) и в его решении (3) никак не отражен тот факт, что размерность пространства, в котором задана величина (1), имеет какое-либо конкретное значение. Кроме того, никак не отражается тот факт, что предельные величины «насыщения» , и т.д. являются взаимозависимыми и что их полная сумма может в некотором приближении рассматриваться как постоянная величина. Причем, величина на самом деле может временно отклоняться от постоянной величины (новое куплено, а старое не выброшено, «жалко», «на всякий случай», ситуация временного переполнения, и наоборот, ситуация временного отказа от удовлетворения потребности, желание «осмотреться» перед выбором). Такая абстракция выражает собой только тот факт, что новшество именно потому и является конкурентоспособным, что для его развития от начального «посева» до некоторой ощутимой стадии совершенно не важно, на фоне какой предыдущей ситуации такое развитие происходит. Другими словами термин конкурентоспособный можно считать синонимом термина самодостаточный. И именно поэтому для такого упрощенного рассмотрения также не важна и размерность пространства распространения новшеств и его свойства непрерывности.

Рассмотрим теперь следующую ступень в построении уравнений, учитывающую уже наличие некоторого непрерывного пространства.

(4) - весьма условное иллюстративное уравнение, учитывающее, что кроме параметра , описывающего спонтанный лавинный рост новшества, может присутствовать векторный параметр (указывающий направление распространения и обратно пропорциональный скорости такого распространения на начальном этапе) и скалярный параметр , учитывающий уменьшение скорости роста новшества за счет потерь на «диффузию», т.е. на засев соседних областей.

(5) - уравнение на основе уравнения (4) для изотропного случая (отсутствия выделенного направления в пространстве), причем множитель , выражающий собой торможение роста новшества, перенесен здесь в часть, находящуюся левее оператора дивергенции условно. Мы здесь пока не пытаемся построить строгое выражение общего вида, и привлекаем формулы только для пояснения словесного описания характерных особенностей распространения новшества.

На данном этапе мы попытались учесть наличие пространства, в котором новшество распространяется, а, следовательно, возможность процессов типа диффузии и процессов, распространение которых учитывает наряду со скалярным начальным распределением «засева» новшества и векторную часть в начальных условиях «засева». Другими словами, мы считали пока, что новшество типа распространяется в «инертной» по отношению к нему среде, сопротивляющейся его распространению относительно пассивно. В случае же, если новшество имеет в качестве естественного «антагониста» новшество (начавшее распространяться раньше чем , одновременно с ним либо позже) – тогда наряду с «засевом» новшества происходит и «иммунизация» против такого засева. При этом уравнения сразу же перестают быть линейными (даже на начальном временном отрезке). Дело в том, что величина по своему смыслу не может принимать отрицательных значений. Формальное же решение системы уравнений в случае, когда рассматривается два конкурирующих между собой новшества ( и ) может приводить и к отрицательным значениям. Следовательно, естественным образом возникает необходимость применения нелинейной операции взятия модуля и раздельного рассмотрения случаев, когда некоторые выражения больше нуля или меньше нуля. Таким образом, нелинейность в уравнении (2) вызванная явлением насыщения при распространении новшества усугубляется нелинейностью, вызванной учетом взаимодействия распространяющегося новшества с пространством, в котором происходит это распространение, в частности с конкурирующими новшествами.

Для того, чтобы учесть взаимодействие нескольких (для начала двух) конкурирующих распространяющихся новшеств можно составить уравнения модели в нескольких существенно отличающихся формах. Так, например, хорошо изучена система уравнений и вопросы масштабирования [3] для изучения динамики системы «зайцы-лисы-лес», в которой рост поголовья зайцев приводит к ускорению роста лис, затем к чрезмерному возрастанию количества лис и полному уничтожению зайцев этими лисами с последующей гибелью от голода и самих лис – в одних случаях. В других случаях колебательный процесс может войти в режим автоколебаний либо затухнуть к стабильному «аттрактору», задающему устойчивое соотношение поголовья лис и зайцев.

Таким образом, система уравнений уже в простейших случаях может приводить как к решениям, приводящим величины к их предельным состояниям, так и к решениям, имеющим один или несколько «аттракторов», т.е. точек притяжения, к которым приближается фазовое состояние системы по мере развития процесса. Другим, весьма неожиданным примером, имеющим отношение к сути рассматриваемых задач и явлений, служит диаграмма прочности рельсовой марганцовистой стали (в координатах концентраций углерода и марганца). На такой диаграмме наблюдается одновременно два «аттрактора», две зоны максимальной прочности с областью падения прочности между ними. И хотя на такой диаграмме не изображается развитие процесса во времени, суть дела этот пример отражает верно. В случае, когда изучается развитие во времени не скалярной величины, но вектора, описывающего одновременно набор конкурирующих «новшеств», становится возможным и вероятным возникновение (в некоторых случаях) топологических конструкций типа экстремумов, «седел», областей перегиба и более сложных (бифуркаций, явлений бутстрапа и т.п.). Поэтому при разработке системы уравнений для изучения с помощью такой системы реальной ситуации распространения новшества необходимо заранее учитывать возможность таких ситуаций. А потому сами уравнения должны содержать необходимые для адекватного описания ситуации члены. При этом малая фактическая величина таких членов может не иметь решающего значения, а знак коэффициента, например обеспечивающий затухание колебаний, может быть весьма важным.

Имеется очевидный факт, заключающийся в том, что дифференциальное уравнение (2) первого порядка по времени для одной неизвестной величины при добавлении второй, равноценной величины образует систему двух уравнений 1-го порядка, которая сводится в итоге к дифференциальному уравнению 2-го порядка по времени для каждой из этих величин. В свою очередь дифференциальное уравнение 2-го порядка по времени (даже линейное) может иметь колебательные решения (с ростом и с затуханием амплитуды), а в нелинейном случае может иметь, кроме того точки «притяжения» и «отталкивания». Однако система двух дифференциальных уравнений может быть связана между собой слабо и, фактически, распадаться на два независимых уравнения, не обладающих колебательными решениями и «точками притяжения». В случае же сильной связи – ситуация может складываться по-разному, а потому методы решения уравнений будут различными, различным может быть при этом и сам подход к составлению системы уравнений и выбору величин коэффициентов. И если для уравнения (2) с одной неизвестной величиной (1) учет «насыщения» при распространении новшества вводился «однозначно» в том смысле, что имелся всего один простейший вариант выражения для правой части уравнения, то в случае системы уравнений – такой однозначности уже нет, и возникает изрядная доля произвола. Поэтому результат анализа будет зависеть уже не только от точности проведенного решения или точности оценки коэффициентов, но и от адекватности применяемой (субъективно) модели. Достоверность результатов моделирования требует в этом случае проведения дополнительных исследований в каждом частном случае. Другими словами, при снижении уровня абстракции модели возрастает трудоемкость ее применения.

Окончание следует


 

Valid HTML 4.01 Transitional
Copyright © 2005-2017 Лугин Владимир Григорьевич