Математическое описание управляемого движения компоновки низа буровой колонны (Окончание)

М.М. Протодьяконовым была разработана обобщающая характеристика горных пород – крепость. По этой классификации все горные породы разделены на 10 категорий, каждая из которых характеризуется определённым значением временного сопротивления сжатию (кГ/кв.мм).

Классификация М.М. Протодьяконова (табл.1) применяется для комплексной оценки механических свойств горных пород.

При этом рекомендуется относить каждую породу к той или иной категории не по одному только ее наименованию, но и по ее физическому состоянию, сравнивая ее по крепости с другими перечисленными в таблице породами.

Выветрившиеся, разрушенные, частично разбитые, перемятые дислокацией, близкие к поверхности и т, п. породы надлежит относить к более низким категориям, нежели соименные.

Указанный коэффициент крепости следует считать характеризующим относительную крепость породы во всех разнообразных отношениях, имеющих значение в горном деле, а именно:
а) в отношении добываемости ручными работами;
б) буримости, как при бу­рении шпуров, так и при глубоком бурении;
в) взрываемости при помощи взрывчатых веществ;
г) устойчивости при обрушениях;
д) производимого давления на крепь и т. д.

Но при этом надлежит иметь в виду, что указанные в таблице цифры относятся к целой группе пород (например, сланцам, кварцитам, известнякам и пр.), но не к отдельным их разновидностям, почему к определению в отдельных частных случаях надлежит относиться с большой осторожностью, и величина эта может быть неодинакова в различных отношениях.

Таблица 1
Классификация горных пород М.М. Протодьяконова

Данная классификация позволяет распространять данные, полученные опытным или расчётным путём по отношению к бурению одних пород, на другие породы. Такими данными могут быть, например, энергетические или временные характеристики, необходимые для выполнения определённого объёма буровых работ.

По отношению к скорости бурения также существуют обобщённые данные, отражающие накопленный опыт в области бурения и уровень технического оснащения буровых установок. Такие данные обычно используются, для нормирования буровых работ. При этом они могут использоваться в качестве ориентиров при моделировании процессов бурения в исследовательских целях. В СССР существовала классификация горных пород для горнопроходческих работ Министерства геологии и охраны недр для 1960 г. [Куличихин].

В настоящее время аналогичная классификация регламентируется СНиП 4.02-91, выборочные данные представлены в табл.2

Таблица 2
Параметры горных пород для горнопроходческих работ

Данная калибровка в значительной степени отличается от упомянутой калибровки 1960г., прежде всего, для прочных и твёрдых пород. Если для легкопроходимых пород (солончак, дресва и др.) данные фактически совпадают, то для коренных глубинных пород, песчаников, кварцитов данные уменьшились ориентировочно в два раза, что свидетельствует о совершенствовании технического оснащения буровых установок. Кроме того, калибровка по СНиП 4.02-91 обладает значительно большей детализацией (40 развёрнутых позиций против 11 обобщённых).

Если априорно не известна категория породы, то для её классификации производится пробное бурение. С целью обеспечения единообразия условий следует применять бурильную установку, снабженную перфоратором ПР-36 (головка бура 42 мм) и самозаписывающим прибором (углубка-время).

Для других типов перфораторов рекомендуются следующие поправочные коэффициенты:

• ПП-36В (ПР-20) – 0.9;
• ПП-50 (ПР-22) – 0.95;
• ПП-63В (ПР-30) – 0.96.

В целом, скорость бурения в значительной степени зависит от усилия подачи бура на забой. При сравнительно небольших усилиях снижается эффективность взаимодействия бур-порода. С увеличением усилия эта эффективность увеличивается, но до определённого предела. Данный аспект иллюстрируется рис.3, построенным с учетом [Куличихин].

Рис.3 Динамика зависимости скорости бурения от усилия подачи (коэффициент крепости VI-VIII)

На рис. 3 приведены осреднённые по условиям бурения графики зависимости скорости бурения от величины усилия подачи буровых установок. На диаграмме видно, что кривые имеют максимум, причём, у высокочастотных, типа КЦМ-4, (порядка 100 Гц) установок усилия подачи значительно больше, чем у низкочастотных, типа ПМ-508, (порядка 50 Гц).

С учётом данных табл.2 и обстоятельств эффективного использования расходного бурового инструмента рабочие (эффективные) скорости бурения (полупрямая а на рис.3) ниже предельно возможных.

При этом точкам пересечения кривых с полупрямой а соответствуют определённые (эффективные) значения усилия подачи . На рис.3 им соответствуют точки пересечения перпендикуляров, опущенных из точек пересечения полупрямой а с кривыми и осью усилий подачи.

При равномерном движении бура усилие подачи компенсируется силой сопротивления грунта. В общем случае эта сила зависит от скорости движения, рабочей частоты бурения, типа перфоратора, характеристик грунта. Однако можно полагать, что бурение происходит в условиях, близких к оптимальным, т.е. значения скоростей и усилий подачи соответствуют участкам АВ и АС на рис.3.

На этих участках зависимости, представляемые кривыми, можно принять линейными. Что ни уменьшает общности рассмотрения, т.к. в конкретных случаях всегда можно определить и более точную аппроксимирующую зависимость.

Тогда, считая свойства грунта изотропными, для силы сопротивления грунта , соответствующей эффективным условиям бурения, можно записать в векторном виде

(20),
где – соответствующий коэффициент пропорциональности, причем, из условия линейности аналогично можно записать и более общее выражение.

(21),
где , – текущие значения скоростей и усилий подачи, соответствующие участкам кривых АВ, АС на рис.3.

Причём, в обеих формулах берётся один и тот же коэффициент .

Тогда можно записать (22)
При этом классификация горных пород М.М. Протодьяконова позволяет распространить данный подход и на горные породы с другими коэффициентами крепости. Например, если в рассматриваемом случае взять коэффициент (в частности, согласно табл.1 ), то для горных пород с другой крепостью будет справедлива формула

(23),
где – категория по классификации М.М. Протодьяконова, а – поправочный множитель, учитывающий достигнутый прогресс в изготовлении инструмента для пород соответствующей прочности на сжатие; так отношение прочности базальтов к мелу (20/2=10) не совпадает с отношением их времен бурения (14/3=4.7), хотя совпадение и имело место в нормативах 1960 г, когда технология изготовления инструмента была другой.

Данная формула может применяться при оценке силы сопротивления со стороны горных пород движению буров и в любых конкретных случаях при условии определения опытным путём зависимости скорости бурения от усилия подачи в одной из горных пород.

3. Разработка математической модели
Выше, в разделе 1, были получены формулы (13) – (19), позволяющие описать процесс управляемого бурения в общем виде. Кроме того, были получены формулы (8), (9), позволяющие рассчитать усилие подачи долота на забой по весу на крюке, погонной массе бурового става, траектории пробуренной скважины и коэффициенту трения буровой колонны о грунт.

В системе уравнений (13)-(19) уравнение (16) задает содержательную часть закона движения. Тогда, уравнения (24), (25) означают, что наблюдается равномерное по времени снижение скорости проходки , определяемое скоростью износа долота и перпендикулярное направлению проходки ускорение определяется движением КНБК по траектории, имеющей радиус кривизны со скоростью .

(24)
(25)

Уравнения (24), (25) тривиальны и содержат члены, имеющие очень малые величины. Следующим шагом могут являться уравнения (26), (27). Данные уравнения обобщают предыдущие за счёт учёта силы сопротивления горных пород на основе уравнений (20-23).

(26)
(27)
В уравнении (26) учтено отличие мгновенной скорости проходки от скорости, определяемой рабочим режимом инструмента (оборотами, силой подачи на забой и т.п.) , где и – мгновенное и среднее во времени значение усилия подачи на забой, – среднее значение скорости проходки, и – мгновенное и среднее во времени значение крепости проходимой породы, и это отличие учтено через время релаксации . Время релаксации нетрудно оценить. Пусть, например, бурение идет по мелу со скоростью 3 минуты на 1 метр (5 мм/с). Предположим, что вращение долота мгновенно прекратилось, тогда долото по инерции может вонзиться в породу на глубину ½ зуба, т.е. на глубину около 5 мм. Это займет 1 секунду, затем усилия на долоте возрастут. Пусть глубина скважины составляет 1 км, тогда масса буровой колонны около 10 т. При остановке бура возникает ускорение около 0.005 м/с², в этом случае усилие на забой возрастает примерно на 5 кгс. Буровая колонна может рассматриваться как материальная точка с сосредоточенной в центре тяжести массой только на интервалах времени, превышающих время распространения механического взаимодействия между разными участками колонны. Это время распространения звука, т.е. волн сжатия и сдвига в металле труб буровой колонны. Причем звук должен пробежать по колонне несколько раз, так, чтобы возникшие колебания в некоторой степени затухли, и чтобы можно стало говорить о движении буровой колонны как единого тела, характеризуемого его полной массой. За время 0.5 с звук успевает пробежать по буровой колонне к поверхности и вернуться к долоту. Поэтому, оценивая время релаксации величиной 1 с, мы вряд ли можем существенно ошибиться, тем более что ошибка в этой величине практически не влияет на результат управляемого бурения в случаях, когда постоянная скоростью сохраняется в течение большей части времени бурения.

Иная ситуация складывается при бурении сложных участков траектории. В этих случаях время релаксации будет существенно влиять на результат бурения и требует отдельного обоснования с учетом формы траектории, грунта, технологических параметров бурового инструмента.

При мгновенной релаксации получим
. (28)

Тут важно заметить следующее. Оценивая коэффициент трения величиной 20%, силу трения буровой колонны по стенкам шахты можно оценить как 2000 кгс. Эта величина в 400 раз больше силы, разгоняющей за 1 с буровую колонну до рабочей скорости или, наоборот, останавливающую ее. Сила в 5 кгс примерно равна силе трения буровой колонны на длине 2.5 м, если бурение идет горизонтально. Совершенно очевидно, что вибрации, возникающие при работе долота, флуктуации вращательного момента и, соответственно, визирного угла и угловой скорости вблизи КНБК затухают на длине, существенно большей 10-20 м. В результате продольное продвижение долота в грунт и соответственно продвижение КНБК происходит неравномерно во времени, с существенными флуктуациями. Характерным временем, за которое такие флуктуации начинают затухать (релаксировать) можно условно считать 1 с. На более коротких временных интервалах видимо уже нельзя говорить про простую линейную зависимость силы подачи на забой от скорости продвижения долота в грунте.

В уравнении (27) учтено отличие локального искривления траектории от среднего значения путем учета члена, лежащего в плоскости действия отклонителя (), причем величины этого члена определяются локальными в пространстве и времени возмущающими факторами, которые могут быть учтены. Однако, кроме учитываемых эффектов существуют и другие явления. Так, продольное сжатие буровой колонны вблизи КНБК заставляет трубы колонны терять устойчивость и поочередно опираться на противоположные стенки шахты. Причем, так как устойчивость теряется в обеих перпендикулярных оси шахты направлениях – труба укладывается по стенкам шахты «винтом», причем направление «винта» определяется направлением вращения долота, т.к. из-за возникающего момента вращения трубы буровой колонны закручены (на много полных оборотов на длине 1 км). Из-за того, что трубы вблизи КНБК лежат «винтом» по стенкам шахты – на первом фланце КНБК возникает и перпендикулярная оси шахты сила упругости и момент сил, «выворачивающий» КНБК вбок. При этом направление действия боковой силы и момента сил относительно КНБК имеют существенную случайную составляющую. Действительно, при случайных изменениях силы подачи на забой меняется закручивающий буровую колонну момент сил, в результате меняется визирный угол, т.е. КНБК поворачивается вокруг своей оси. Таким образом, в результате отклонитель КНБК меняет направление своего действия. Следовательно, управление нагрузкой на крюке и управлением визирным углом (на буровой установке) оказываются не независимыми друг от друга, но взаимосвязанными. С другой стороны, при повороте КНБК вокруг своей оси уложенная «винтом» по стенкам шахты буровая труба не поворачивается сразу же синхронно. В результате этого возникает некая неопределенность в дополнительных отклоняющих траекторию бурения силах за счет «винтовой» укладки трубы по стенкам шахты. При управлении процессом бурения этот факт должен учитываться.

Следующая по сложности модель движения отражена в формуле (29). В этом случае в (29) сила подачи на забой представлена в виде – номинальной, расчетной силы, вычисляемой через нагрузку на крюке с использованием траектории всей пробуренной скважины по формулам (8), (9) и – неконтролируемой поправки, связанной со случайным изменением силы трения.
(29)

Из формулы (8) нетрудно вывести выражение для , так убрав в правой части (8) не зависящие от члены, получим
(8а)
откуда (8б)
или (8в)

Тогда, представив решение (8) в виде
(8в)
и подставив его в (8), получим
(8г)

Проинтегрировав (8г) по мы найдем , а подставив его в (8в) найдем и , причем – равно весу на крюке, а – взятое с противоположным знаком, равно силе сжатия на первом фланце КНБК (– соответствует концу пробуренной шахты). Добавив к этой силе силу, возникающую от веса КНБК (относительно небольшая величина), получим усилие подачи на забой . Во время поворота буровой колонны вокруг ее оси (изменение визирного угла КНБК) сила трения «как бы пропадает» по всей длине колонны. Под действием вибраций сила трения «как бы пропадает» на некоторой длине колонны вблизи КНБК. В связи с этим возникает флуктуирующая неопределенность в силе подачи на забой , оценить которую можно решив (8г), (8в) для коэффициента трения номинального и оценочного с учетом вибраций буровой колонны (коэффициент снижен вблизи КНБК).

Уравнения (24)-(29) с учётом (23) позволяют определять движение КНБК различных типов в случае, когда нам известны следующие данные:

• вес на крюке и его зависимость от времени, соответственно;
• текущее во времени значение радиуса кривизны траектории ;
• динамическая зависимость скорости бурения от усилия подачи (типа рис.2, 3);
• расчётную траекторию бурения и, соответственно, проходимые породы (в виде коэффициентов Протодьяконова, эффективных скоростей бурения, коэффициентов трения :
• характеристики буровой установки в виде погонной массы буровой колонны и возможностей КНБК изменять траекторию по зенитному углу и азимуту; характеристики породоразрушающего инструмента .

При этом следует отметить, что форма траектории и соответствующие свойства горных пород определяют текущие значения веса на крюке и радиуса кривизны. В то же время, как было отмечено, мы считаем, что эта задача при автономном движении КНБК решается заблаговременно при определении программного движения.

Тогда в качестве управляющих факторов будем рассматривать временные зависимости веса на крюке и радиуса кривизны, который соответствует возможностям КНБК по изменению траектории бурения (отклонители, долота с подтормаживанием шарошек и т.п.).

Данные формулы позволяют определять движение КНБК под действием управляющих воздействий.

В случаях, когда это необходимо, дополнительно требуется определять порядок задания возмущающих факторов и особенности решения задач навигации и стабилизации.

Выводы
1. Задачи интеллектуального бурения вытекают из общей теории управления автономными (в той или иной мере) объектами и включает в себя наведение, навигацию и стабилизацию движения. В то же время в рассматриваемом случае существуют существенные отличия по сравнению с другими автономными объектами (роботы, летательные аппараты, манипуляторы и др.). Основными из них являются: наличие постоянно меняющегося по длине и массе «хвоста»-буровой колонны; более сложное взаимодействие объекта-КНБК с окружающей средой (по сравнению, например, с атмосферой или водной средой), обусловленное невозможностью её преодоления без специальных силовых устройств-долот.

Наличие буровой колонны и её свойства определяют применимость к описанию движения КНБК вблизи точки забоя механической модели упругой балки, а по мере удаления от неё – модели неупругой нити. Полученные уравнения и рекомендации позволяют учесть эти обстоятельства. Кроме того, приведённая система дифференциальных уравнений позволяет рассмотреть общие особенности наведения и навигации и перейти к анализу конкретных ситуаций.

2. Влияние горных пород на движение КНБК проявляется по широкому кругу аспектов. Такие показатели среды, как слоистость, сланцеватость, пористость, разрыхляемость, упругость, пластичность, хрупкость, вязкость, твёрдость и др. оказывают действие на движение КНБК. В тоже время оценить это влияние с точки зрения каждого из этих факторов не представляется возможным.

В этой связи особое значение имеет обобщённый показатель – крепость (временное сопротивление сжатию) и построенная на его основе классификация проф. М.М. Протодьяконова. На основе этой квалификации, характеризующей относительные свойства пород во всех проявлениях, имеющих значение в горном деле, введены нормативы скоростей бурения в различных средах.

Обобщение этих материалов позволило получить формулу, позволяющую оценить силы сопротивления со стороны горных пород движению буров в любых конкретных случаях при условии определения опытным путём зависимости скорости бурения от усилия подачи в одной из горных пород.

3. При выводе уравнений (27), (29) представлялось обоснованным не использовать в явном виде параметры размерности массы. Это связано с тем, что ускорения, действующие на КНБК и буровую колонну настолько малы в среднем, что инерциальные силы оказываются совершенно несущественными по сравнению со статическими и вязкими силами, по крайней мере, на низких частотах. Конечно, на частотах порядка 1-30 Гц, где механические движения определяются вибрациями, должна учитываться не только масса бурового става и его упругость, но и его волновые свойства (время распространения волны сжатия, волны кручения и волны изгиба). Однако, ограничивая рассматриваемый частотный диапазон частотами ниже 1 Гц и исключая из рассмотрения вибрации (несмотря на их значительную амплитуду), оказывается возможным при записи основных уравнений не использовать массу, а использовать вместо нее условное время релаксации.